Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），點P（m，n）為拋物線上任意一點，其中m≥0．
（1）判斷拋物線與正比例函數的交點個數；
（2）定義：凡是與圓錐曲線有關的圓都稱為該圓錐曲線的伴隨圓，如拋物線的內切圓就是最常見的一種伴隨圓．此外還有以焦點弦為直徑的圓，以及以焦點弦為弦且過頂點的圓等．同類的伴隨圓構成一個圓系，圓系中有無數多個圓．求證：拋物線內切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數且m≥0）；
（3）請研究拋物線以焦點弦為直徑的伴隨圓，推導出其圓系方程，并寫出一個關于它的正確命題．

Answer 1

分析：（1）設正比例方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立

y2=2px y=kx

?x(k2x-2p)=0，由此可知拋物線與正比例函數有兩個交點．
（2）y2=2px?2yy′=2p?y′=

p

y

，所以過點P的切線斜率為k=

p

n

，所以過改點的法線斜率為-

1

k

=-

n

p

，從而相應的法線方程為y-n=-

n

p

(x-m)，由此可知拋物線內切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數且m≥0）．
（3）探究結論：拋物線以其焦點弦為直徑的伴隨圓系的方程為(x-

k2+2

k2

p)2+(y-

p

k

)2=(

k2+1

k2

)p2（k為參數且k≥0）
然后再結合題設條件進行證明．

解答：解：（1）設正比例方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立

y2=2px y=kx

?x(k2x-2p)=0
得到x1=0，x2=

2p

k2

＞0，
因此拋物線與正比例函數有兩個交點．（2分）
（2）y2=2px?2yy′=2p?y′=

p

y

，
所以過點P的切線斜率為k=

p

n

，
所以過改點的法線斜率為-

1

k

=-

n

p

，
從而相應的法線方程為y-n=-

n

p

(x-m)，
因為拋物線關于x軸對稱，
所以有其內切圓的圓心必在x軸上，令y=0得x=p+m，設內切圓的半徑為R，
則R²=（p+m-m）²+（0-n）²=p²+n²=p²+2pm
從而拋物線內切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數且m≥0）（6分）
（3）探究結論：拋物線以其焦點弦為直徑的伴隨圓系的方程為(x-

k2+2

k2

p)2+(y-

p

k

)2=(

k2+1

k2

)p2（k為參數且k≥0）（8分）
證明：設焦點弦AB所在直線方程為y=k(x-

p

2

)，與拋物線方成聯(lián)立便可以得到

k2x2-p(k2+2)x+ p2k2 4 =0 ky2-2py-kp2=0

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

k2+2

k2

p，x1x2=

p2

4

；y1+y2=

2p

k

，x1x2=-p2；
設伴隨圓圓心為（m，n），則m=

x1+x2

2

=

k2+2

2k2

，n=

y1+y2

2

=

n

k

，
設伴隨圓半徑為RR2=

1

4

|AB|2=

(k2+1)2

k4

p2
所以伴隨圓系方程為(x-

k2+2

k2

p)2+(y-

p

k

)2=(

k2+1

k2

)p2（11分）
命題：拋物線y²=2px（p＞0）以焦點弦為直徑的伴隨圓的圓心軌跡為拋物線．（13分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．