Question

如圖，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=2，BC=1，∠ABC=90°，E、F分別為AA₁、C₁B₁的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為

5

2

．

Answer 1

分析：分類討論，若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁BC展開在同一個平面內，構造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度．
若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C展開在同一個平面內，構造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度．
若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展開在同一個面內，構造直角三角形，由勾股定理得 EF 的長度．
以上求出的EF 的長度的最小值即為所求．

解答：解：直三棱柱底面為等腰直角三角形，若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁BC展開在同一個平面內，
線段EF就在直角三角形A₁EF中，由勾股定理得 EF=

A1F2+A1E2

=

1+ 25 4

=

29

2

．．
若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C展開在同一個平面內，設BB₁的中點為G，則線段EF就在直角三角形EFG中，
由勾股定理得 EF=

EG2+FG2

=

4+ 9 4

=

5

2

＜

29

2

．
若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展開在同一個面內，過F作與CC₁行的直線，過E作與AC平行的直線，所作的兩線交與點H，

OF=

1

2

×

2

5

=

5

5

，OC₁=

1

2

×

1

5

=

5

10

，
則EF就在直角三角形EFH中，由勾股定理得 EF=

EH2+FH2

=

( 5 - 5 10 )2+(1+ 5 5 )2

=

3 5

2

＞

5

2

，
綜上，從E到F兩點的最短路徑的長度為

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查了將兩個平面展在同一平面求幾何體表面最小距離的問題，考查了分類討論思想的應用．