Question

（2010•馬鞍山模擬）已知函數(shù)f（x）=|x-a|-lnx．（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當a＞1時，證明：f(x)≥ln

1

a

．

Answer 1

分析：（1）利用a=1化簡函數(shù)的表達式，對函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）通過x＞a與0＜x＜a，分別利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可證明f(x)≥ln

1

a

．

解答：解：（1）a=1時，f(x)=|x-1|-lnx=

x-1-lnx (x≥1) 1-x-lnx (0＜x＜1)

當x≥1時，f(x)=x-1-lnx ⇒f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，…（2分）
當0＜x＜1時，f(x)=1-x-lnx ⇒f′(x)=-1-

1

x

＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減…（4分）
故a=1時，f（x）的增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．…（6分）
（2）因為a＞1，所以當x≥a時，
f(x)=x-a-lnx ⇒f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增，…（8分）
當0＜x＜a時，f(x)=a-x-lnx ⇒f′(x)=-1-

1

x

＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減…（10分）
∴f(x)min=f(a)=-lna=ln

1

a

，從而f(x)≥ln

1

a

…（12分）

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，分類討論思想的應(yīng)用．