Question

拋物線y²=4px（p＞0）的準線與x軸的交點為M，過點M作直線交拋物線于A、B兩點．
（1）求線段AB中點的軌跡方程；
（2）若線段AB的垂直平分線交對稱軸于點N（x₀，0），求證：x₀＞

3

2

；
（3）若直線l的斜率依次取

1

2

，(

1

2

)2，…(

1

2

)n時，線段AB的垂直平分線與拋物線對稱軸的交點依次是N₁，N₂，…，N_n，求S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|NnNn+1|

．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的準線方程得到點M的坐標，再設直線方程與拋物線聯(lián)立結(jié)合違達定理即可求出線段AB中點的軌跡方程；（注意范圍的限制）
（2）先求出線段AB的垂直平分線方程，進而得到點N的坐標，根據(jù)實數(shù)k的范圍限制即可證明結(jié)論；
（3）先求出數(shù)列的通項，發(fā)現(xiàn)其是以

1

12

首項，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，再代入等比數(shù)列的求和公式即可．

解答：解：（1）拋物線的準線方程為x=-p，
∴M（-p，0），
設l方程為y=k（x+p）（k≠0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P（x，y）得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，A，B在y²=4px上得：y₁²=4px₁，
y₂²=4px₂，顯然AB斜率k存在，兩式相減得：k=

y2-y1

x2-x1

=

4p

y1+y2

=

2p

y

，
又A，B，M，P共線得其斜率也可表示為k=

y

x+p

=

2p

y

，
即得y²=2px+2p²，（p＞0，x＞0），即為AB中點P軌跡方程．
（2）證明：線段AB的垂直平分線方程為y-

1

k

=-

1

k

[x-(

2

k2

-1)

1

2

]，令y=0，
N （x₀，0）的橫標x0=(

2

k2

+1)

1

2

， ∵0＜k2＜1， ∴(

2

k2

+1)

1

2

＞

3

2

， ∴x0＞

3

2

．
（3）當直線l的斜率kn=(

1

2

)n時，
Nn((

2

( 1 2 )n

+1)

1

2

，0)， ∵|NnNn+1|=|xn+1-xn|
=|(

2

( 1 2 )2n+2

+1)

1

2

-(

2

( 1 2 )2n+1

)

1

2

|=

2(1- 1 4 2)

( 1 2 )2n+1

， ∴

1

|NnNn+1|

=

2( 1 2 )2n+1

3

=

1

12

(

1

4

)n-1， ∴

1

|NnNn+1|

是以

1

12

為首項，以

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|NnNn+1|

=

1 12 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

1

9

（1-(

1

4

)n）．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應用．本題的易錯點在于忘記考慮參數(shù)的范圍，從而得到錯誤答案．準線為方程：x=-p，則M（-p，0）