Question

下列命題中，真命題的個數(shù)為（　�。�
（1）在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
（2）已知

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，則

AB

在

CD

上的投影為-2；
（3）函數(shù)的y=lg（x²+ax+1）的值域為R，則實數(shù)-2＜a＜2；
（4）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2（ω＞0）的導函數(shù)的最大值為3，則函數(shù)f（x）的圖象關于x=

π

3

對稱．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理及三角形中“大邊對大角”，可以判斷（1）的真假；
根據(jù)向量投影的定義，計算出

AB

在

CD

上的投影，可判斷（2）的真假；
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，其中函數(shù)的y=lg（x²+ax+1）的值域為R，則真數(shù)x²+ax+1的取值范圍包含（0，+∞），則對應方程x²+ax+1=0有實根，可判斷（3）的真假；
根據(jù)函數(shù)f（x）的導函數(shù)的最大值為3，求出ω值，將x=

π

3

代入判斷是否此時函數(shù)取最值，可判斷（4）的真假．

解答：解：在△ABC中，若A＞B⇒a＞b⇒2rsinA＞2rsinB⇒sinA＞sinB，故（1）正確；
∵

AB

=(3，4)，

CD

=(-2，-1)，則

AB

在

CD

上的投影為

AB • CD

| CD |

=

-10

5

=-2

5

，故（2）不正確；
函數(shù)的y=lg（x²+ax+1）的值域為R，則x²+ax+1=0有實根，即a²-4≥0則實數(shù)-2≤a≤2，故（3）不正確；
函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2（ω＞0）的導函數(shù)f′（x）=ω•cos(ωx+

π

6

)的最大值為3，則ω=3，當x=

π

3

時，函數(shù)f(x)=sin(3x+

π

6

)-2不取最值，故x=

π

3

不是函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸，故（4）錯誤；
故選A

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了正弦定理，向量的投影，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，正弦型函數(shù)的圖象和性質，其中（3）（4）較難