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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(x1,x2),且方程f(x)=x的兩實(shí)根為α,β.
          (Ⅰ)若|α-β|=1,試比較a,b的大;
          (Ⅱ)若α<1<β<2,求證:(1-x1-x2-x1x2)e(1+x1)(1+x2)≤e
          分析:(Ⅰ)由條件可得|α-β|=
          (α+β)2-4αβ
          =1
          ,故
          9
          a2
          -
          4b
          a
          =1
          ,化簡(jiǎn)得a-b=
          (
          5
          a-3)(
          5
          a+3)
          4a
          ,根據(jù)a與
          -3
          5
          的大小關(guān)系判斷a,b的大小.
          (Ⅱ)令g(x)=ax2+3x+b,根據(jù)x1,x2是方程ax2+4x+b=0的兩根,可得x1+x2=-
          4
          a
          ,x1x2=
          b
          a
          .令t=x1x2+x1+x2=
          b-4
          a
          ,由線規(guī)劃求出
          b-4
          a
          的取值范圍.再利用導(dǎo)數(shù)求出h(t)=(1-t)e1+t 在(-4,6)上的最大值為e,即h(t)≤e,不等式得證.
          解答:解:(Ⅰ)由方程f(x)=x,得ax2+3x+b=0,由已知得9-4ab>0,α+β=-
          3
          a
          ,αβ=+
          b
          a

          |α-β|=
          (α+β)2-4αβ
          =1
          ,
          ∴(α+β)2-4αβ=1,
          9
          a2
          -
          4b
          a
          =1
          ,即a2+4ab=9.
          ∴b=
          9-4a2
          4a
          ,
          a-b =  
          5a2-9
          4a
          =
          (
          5
          a-3)(
          5
          a+3)
          4a

          ∴當(dāng)-
          3
          5
          <a<0
          時(shí),a>b;當(dāng) a=-
          3
          5
          ,a=b
          a<-
          3
          5
          ,a<b

          (Ⅱ)令g(x)=ax2+3x+b,又a<0,α<1<β<2.
          g(1)>0
          g(2)<0
          ,即
          g(1)=a+b+3>0
          g(2)=4a+b+6<0

          又x1,x2是方程ax2+4x+b=0的兩根,∴x1+x2=-
          4
          a
          ,x1x2=
          b
          a

          t=x1x2+x1+x2=
          b-4
          a
          ,由線性約束條件
          a+b+3>0
          4a+b+6<0
          a<0.
          ,可知
          b-4
          a
          的取值范圍為(-4,6).
          令h(t)=(1-t)e1+t,則h′(t)=-t•e1+t
          ∴h(t)在(-4,0)上遞增,在(0,6)上遞減,故函數(shù)h(t)在(-4,6)上的最大值為e,
          故h(t)≤e,即 (1-x1)(1-x2)e(1+x1)(1+x2)≤e成立.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系以及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,函數(shù)的恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案