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        1. 精英家教網(wǎng)已知:如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2.
          (Ⅰ)求證:平面PDC⊥平面PAD;
          (Ⅱ)若E是PD的中點,求異面直線AE與PC所成角的余弦值;
          (Ⅲ)點G在線段BC上,且BG=
          3
          ,求點D到平面PAG的距離.
          分析:法一:(Ⅰ)證明平面PDC內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA,AD即可證明CD⊥平面PAD,從而證明平面PDC⊥平面PAD;
          (Ⅱ)E是PD的中點,設CD的中點為F,連接EF、AF,說明∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角,解三角形AEF,就可求異面直線AE與PC所成角的余弦值;
          (Ⅲ)過點D作DM⊥AG于M.點G在線段BC上,且BG=
          3
          ,說明線段DM的長是點D到平面PAG的距離,利用三角形面積求點D到平面PAG的距離.
          法二:以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,
          (Ⅰ)利用
          CD
          AD
          =0 及 
          CD
          AP
          =0
          證明CD⊥平面PAD.推出平面PDC⊥平面PAD.
          (Ⅱ)利用cos<
          AE
          ,
          PC
          >=
          AE
          PC
          |
          AE
          |•|
          PC
          |
          直接求解即可.
          (Ⅲ)作DQ⊥AG于Q,說明線段DQ的長是點D到平面PAG的距離,利用2S△ADG=S矩形ABCD,
          |
          AG
          |•|
          DQ
          |=|
          AB
          |•|
          AD
          |=2
          求出點D到平面PAG的距離為1.
          解答:精英家教網(wǎng)解法一:(Ⅰ)證明:∵PA⊥平面ABCD,
          ∴PA⊥CD.(1分)
          ∵四邊形ABCD是矩形,
          ∴AD⊥CD.
          又PA∩AD=A,
          ∴CD⊥平面PAD.(3分)
          又∵CD?平面PDC,
          ∴平面PDC⊥平面PAD.(5分)
          (Ⅱ)解:設CD的中點為F,連接EF、AF.
          ∵E是PD中點,
          ∴EF∥PC.
          ∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角.(7分)
          由PA=AB=1,BC=2,計算得AE=
          1
          2
          PD=
          5
          2
          ,EF=
          1
          2
          PC=
          6
          2
          ,AF=
          17
          2
          ,cos∠AEF=
          AE2+EF2-AF2
          2AE•EF
          =
          5
          4
          +
          6
          4
          -
          17
          4
          2•
          5
          2
          6
          2
          =-
          30
          10
          ,(9分)
          ∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為
          30
          10
          .(10分)
          (Ⅲ)解:過點D作DM⊥AG于M.
          ∵PA⊥平面ABCD,
          ∴PA⊥DM.
          又PA∩AG=A,
          ∴DM⊥平面PAG.
          ∴線段DM的長是點D到平面PAG的距離.(12分)
          S△AGD=
          1
          2
          AG•DM=
          1
          2
          1+(
          3
          )
          2
          •DM=1
          ,
          解得DM=1.
          所以點D到平面PAG的距離為1.(14分)
          解法二:如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,
          則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0,),D(0,2,0),E(0,1,),精英家教網(wǎng)P(0,0,1).
          CD
          =(-1,0,0),
          AD
          =(0,2,0),
          AP
          =(0,0,1),
          AE
          =(0,1,
          1
          2
          ),
          PC
          =(1,2,-1).(2分)
          (Ⅰ)∵
          CD
          AD
          =0

          ∴CD⊥AD.
          CD
          AP
          =0
          ,
          ∴CD⊥AP.
          又AP∩AD=A,
          ∴CD⊥平面PAD.(5分)
          ∵CD?平面PAD,
          ∴平面PDC⊥平面PAD.(7分)

          (Ⅱ)∵cos<
          AE
          PC
          >=
          AE
          PC
          |
          AE
          |•|
          PC
          |
          =
          2-
          1
          2
          1+
          1
          4
          6
          =
          30
          10
          ,(9分)
          ∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為
          30
          10
          .(10分)
          (Ⅲ)作DQ⊥AG于Q.
          ∵PA⊥平面ABCD,
          ∴PA⊥DQ.
          又PA∩AG=A,
          ∴DQ⊥平面PAG.
          ∴線段DQ的長是點D到平面PAG的距離.(12分)
          ∵2S△ADG=S矩形ABCD,
          |
          AG
          |•|
          DQ
          |=|
          AB
          |•|
          AD
          |=2

          |
          AG
          |=2
          ,得到|
          DQ
          |=1

          ∴點D到平面PAG的距離為1.(14分)
          點評:本題考查平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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