Question

【題目】如圖，已知正四面體D﹣ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點，AP=PB， = =2，分別記二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角為α、β、γ，則（ ）

A.γ＜α＜β
B.α＜γ＜β
C.α＜β＜γ
D.β＜γ＜α

Answer 1

【答案】B
【解析】解法一：如圖所示，建立空間直角坐標系．設底面△ABC的中心為O．
不妨設OP=3．則O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），
Q ，R ，
= ， =（0，3，6 ）， =（ ，5，0）， = ，
= ．
設平面PDR的法向量為 =（x，y，z），則 ，可得 ，
可得 = ，取平面ABC的法向量 =（0，0，1）．
則cos = = ，取α=arccos ．
同理可得：β=arccos ．γ=arccos ．
∵ ＞ ＞ ．
∴α＜γ＜β．
解法二：如圖所示，連接OD，OQ，OR，過點O發(fā)布作垂線：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分別為E，F(xiàn)，G，連接PE，PF，PG．
設OP=h．
則cosα= = = ．
同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ為銳角．
∴α＜γ＜β．
故選：B．