Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線方程；
（II）設(shè)F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（III）設(shè)函數(shù)H（x）=f（x）+g（x），是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），則函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處切線的斜率為f′（e）=2，由此能求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線方程．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0，F(xiàn)′（x）=2ax-（a+2）+=，x＞0，a＞0，令F′（x）=0，則x=，或，由此進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，則x=1，由此列表討論，能夠推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù)m=1和M=2，使得對每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=H（x），x∈[]都有公共點(diǎn)．
解答：解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），
則函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處切線的斜率為f′（e）=2，f（e）=e，
∴所求切線方程為y-e=2（x-e），即y=2x-e．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0
F′（x）=2ax-（a+2）+
=
=，x＞0，a＞0，
令F′（x）=0，則x=，或，
①當(dāng)0＜a＜2，即時(shí)，令F′（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞；
令F′（x）＜0，解得＜x＜；
∴F（x）在（0，），（，+∞）上單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．
②當(dāng)a=2，即時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＞2，即時(shí)，令F′（x）＞0，解得0＜x＜或x＞；
令F′（x）＜0，解得＜x＜；
∴F（x）在（0，），（，+∞）上單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，則x=1，
當(dāng)x在區(qū)間（，e）內(nèi)變化時(shí)，H′（x），H（x）的變化情況如下表：

x		（，1）	1	（1，e）	e
H′（x）		-		+
H（x）	2-	↘	極小值1	↗	2

又∵，∴函數(shù)的值域?yàn)閇1，2]． 
據(jù)此可得，若，則對每一個(gè)t∈[m，M]，
直線y=t與曲線y=H（x），x∈[，e]都有公共點(diǎn)；
并且對每一個(gè)t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直線y=t與曲線y=H（x），x∈[]都沒有公共點(diǎn)．
綜上，存在實(shí)數(shù)m=1和M=2，使得對每一個(gè)t∈[m，M]，
直線y=t與曲線y=H（x），x∈[]都有公共點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查曲線的切線方程的求法，考查函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．