Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，，.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）是否存在互不相等的正整數(shù)、、，使、、成等差數(shù)列，且、、 成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先利用倒數(shù)法得到，再結(jié)合待定系數(shù)法得到，從而證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在（1）的條件下求出數(shù)列的通項公式，假設(shè)相應(yīng)的正整數(shù)、、滿足題中條件，并列出相應(yīng)的等式組并進(jìn)行化簡，利用基本不等式得出矛盾，從而說明符合題中條件的正整數(shù)、、不存在.

試題解析：（1）因為，所以. 所以.

因為，則.

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；

（2）由（1）知，，所以.

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件，

則有，

由與，

得.

即.

因為，所以.

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

這與、、互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件.

考點：1.倒數(shù)法求數(shù)列通項；2.待定系數(shù)法求數(shù)列通項；3.基本不等式