Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1），對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)g(x)=ln

1-x

1+x

是否滿足上述這些條件；
（Ⅱ）你發(fā)現(xiàn)這樣的函數(shù)f（x）還具有其它什么樣的主要性質(zhì)？試就函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的結(jié)論寫出來，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)g（x）的解析式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分別對(duì)g（x）+g（y）與g(

x+y

1+xy

)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得g（x）+g（y）=g(

x+y

1+xy

)成立．再由當(dāng)x＜0時(shí)g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立，即可得到函數(shù)g(x)=ln

1-x

1+x

滿足題意所述條件；
（II）利用賦值法先求出f（0）=0，再證出f（x）+f（-x）=f（0）=0，從而得出函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；再根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則證出f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，進(jìn)而得到x＜y時(shí)有f（x）＞f（y），因此函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

1-x

1+x

＞0，解之得-1＜x＜1，得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）；…（2分）
∵g(x)+g(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

g(

x+y

1+xy

)=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

∴g(x)+g(y)=g(

x+y

1+xy

)成立，…（4分）
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1，可得g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立
綜上所述，可得函數(shù)g(x)=ln

1-x

1+x

滿足題意所述條件．…（6分）
（II）發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）是區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且是減函數(shù)．
證明如下
①將x=0代入條件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入條件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．　…（9分）
②以-y代替y，代入條件得f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
當(dāng)-1＜x＜y＜1時(shí)

x-y

1-xy

＜0，結(jié)合已知條件得f(

x-y

1-xy

)＞0
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），
因此，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，驗(yàn)證函數(shù)的特殊性質(zhì)并討論了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．著重考查了對(duì)弈的運(yùn)算法則、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．利用“賦值法”使抽象函數(shù)問題具體化，是解決這類問題的關(guān)鍵所在．