Question

已知f(x)=ax-2

4-ax

 -1?(a＞0且a≠1)
（1）求f（x）的定義域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）對(duì)于區(qū)間（2，+∞）上的一切x都有f（x）≥0？

Answer 1

分析：（1）由題意知函數(shù)的自變量要滿足4-a^x＞0，移項(xiàng)后，兩邊取對(duì)數(shù)，針對(duì)于底數(shù)與1的關(guān)系進(jìn)行討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到當(dāng)a取值不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量不同，分別寫出結(jié)果．
（2）根據(jù)函數(shù)的底數(shù)不同，所得到的定義域，求出定義域與所給的自變量的范圍的公共部分，把不等式變形，移項(xiàng)，兩邊平方，整理出最簡(jiǎn)形式，根據(jù)恒成立思想，得到不存在滿足條件的a的值．

解答：解：（1）由題意知函數(shù)的自變量要滿足4-a^x＞0
∴a^x＜4
兩邊取對(duì)數(shù)，針對(duì)于底數(shù)與1的關(guān)系進(jìn)行討論，
a＞1時(shí)，定義域（-∞，log_a4]；
0＜a＜1時(shí)，定義域[log_a4，+∞）
（2）不存在．
∵當(dāng)a＞1時(shí)，定義域（-∞，log_a4]；
對(duì)于區(qū)間（2，+∞）上的一切x，
只有1＜a＜2，兩個(gè)范圍才有公共部分，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，自變量為（2，log_a⁴]
ax-1≥2

4-ax

兩邊平方后移項(xiàng)整理成最簡(jiǎn)形式，
（a^x+1）²≥16，
∴a^x+1≥4
∴a^x≥3
∵a^x是一個(gè)增函數(shù)，
∴只要a²≥3恒成立即可，
而當(dāng)1＜a＜2時(shí)，不恒成立，
同理可得當(dāng)0＜a＜1時(shí)，也不存在a，使得式子恒成立，
故總上可知不存在這樣的a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的恒成立問題，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是一個(gè)綜合題目，這種題目考查的內(nèi)容比較全面，可以作為解答題目出現(xiàn)在高考卷中．