Question

（2007•肇慶二模）若x∈[-

π

2

，0]，則函數(shù)f(x)=cos(x+

π

6

)-cos(x-

π

6

)+

3

cosx的最小值是（　�。�

• A．1
• B．-1
• C．-

  3

• D．-2

Answer 1

分析：由三角恒等變換公式，化簡得f（x）=2sin（

π

3

-x），結合

π

3

-x∈[

π

3

，

5π

6

]利用三角函數(shù)的圖象，即可得到當且僅當x=-

π

2

時，函數(shù)的最小值是1．

解答：解：∵cos(x+

π

6

)=cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

3

2

cosx-

1

2

sinx
cos(x-

π

6

)=cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

=

3

2

cosx+

1

2

sinx
∴f(x)=cos(x+

π

6

)-cos(x-

π

6

)+

3

cosx
=-sinx+

3

cosx=2sin（

π

3

-x）
∵x∈[-

π

2

，0]，得

π

3

-x∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（

π

3

-x）∈[

1

2

，1]，可得f（x）=2sin（

π

3

-x）∈[1，2]
當且僅當x=-

π

2

時，函數(shù)的最小值是1
故選：A

點評：本題給出三角函數(shù)式，求它在閉區(qū)間上的最小值．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．