Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)，有下列命題
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達(dá)式可改寫(xiě)成y=4cos(2x-

π

6

)；
③將f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，可得g（x）=4sin2x的圖象；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

12

，

7π

12

]上單調(diào)遞減．
其中正確命題的序號(hào)是

②④

．

Answer 1

分析：①函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．
②利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行判斷．
③利用函數(shù)圖象平移判斷．
④利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．

解答：解：①因?yàn)楹瘮?shù)的周期T=

2π

2

=π，函數(shù)值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是

π

2

的整數(shù)倍．所以①錯(cuò)誤．
②函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)=4cos(

π

2

-2x-

π

3

)=4cos(

π

6

-2x)=4cos(2x-

π

6

)，所以②正確．
③將f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，得到f(x)=4sin[2(x+

π

3

)+

π

3

]=4sin(2x+π)=-4sin2x，所以③錯(cuò)誤．
④當(dāng)

π

12

≤x≤

7π

12

時(shí)，

π

6

≤2x≤

7π

6

，

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

，設(shè)t=2x+

π

3

，則y=sint在[

π

2

，

3π

2

]上單調(diào)遞減，所以④正確．
故正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角誘導(dǎo)公式，和三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．