Question

橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A₁，A₂分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），離心率為．點(diǎn)M是橢圓C上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線A₁M與y軸交于點(diǎn)P，直線A₂M與y軸交于點(diǎn)Q．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若把直線MA₁，MA₂的斜率分別記作k₁，k₂，求證：k₁k₂=-；
（III） 是否存在點(diǎn)M使|PB|=|BQ|，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），由焦點(diǎn)F可求得c值，由離心率可得a值，由b²=a²-c²即可求得b值；
（II）由（I）寫出A₁、點(diǎn)A₂的坐標(biāo)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題意可知0＜x＜2，y＞0，根據(jù)斜率公式可表示出k₁，k₂，進(jìn)而表示出k₁k₂，再由點(diǎn)M在橢圓上，可消掉k₁k₂中的y，從而可證；
（III） 分別設(shè)直線MA₁的方程為y=k₁（x+2），直線MA₂的方程為y=k₂（x-2），易求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，由橢圓方程寫出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而PB|=|BQ|可表示為k₁，k₂的方程，與k₁k₂=-聯(lián)立可求得k₂，從而可求得直線MA₂的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)M坐標(biāo)，注意檢驗(yàn)直線MA₂是否滿足條件；
解答：（I）解：由題意，可設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），則c=，，
所以a=2，b²=a²-c²=1，
所以橢圓C的方程為=1．
（II）證明：由橢圓C的方程可知，點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題意可知0＜x＜2，y＞0，
直線MA₁的斜率＞0，直線MA₂的斜率＜0，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)M（x，y）在橢圓=1上，
所以，即，
所以k₁k₂==-；
（III）設(shè)直線MA₁的方程為y=k₁（x+2），令x=0，得y=2k₁，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2k₁），
設(shè)直線MA₂的方程為y=k₂（x-2），令x=0，得y=-2k₂，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-2k₂），
由橢圓方程可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），
由|PB|=|BQ|，得，
由題意，可得1-2k₁=（-2k₂-1），
整理得4k₁-2k₂=3，與k₁k₂=-聯(lián)立，消k₁可得2+3k₂+1=0，
解得k₂=-1或，
所以直線MA₂的直線方程為y=-（x-2）或y=-（x-2），
因?yàn)閥=-（x-2）與橢圓交于上頂點(diǎn)，不符合題意．
把y=-（x-2）代入橢圓方程，得5x²-16x+12=0，
解得x=或2，
因?yàn)?＜x＜2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線斜率及橢圓方程的求解，考查學(xué)生對(duì)問題的探究能力解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．