Question

已知在各項均不為零的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0（n∈N*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0，兩邊同除以a_na_n+1，得

1

an+1

-

1

an

=2，從而可知數(shù)列{ 

1

an

 }是首項為

1

a1

=1，公差為2的等差數(shù)列，進而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)b_n=a_na_n+1，結(jié)合（1），將通項裂項，進而可求可．

解答：解：（1）由2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0得

1

an+1

-

1

an

=2（3分）
∴數(shù)列{ 

1

an

 }是首項為

1

a1

=1，公差為2的等差數(shù)列
∴

1

an

=1+2(n-1)=2n-1∴an=

1

2n-1

（7分）
（2）∵bn=anan+1=

1

(2n-1) (2n+1)

=

1

2

  ( 

1

2n-1

-

1

2n+1

 )
∴{b_n}的前n項和為：Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（13分）

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查構(gòu)造法證明等差數(shù)列，考查數(shù)列的通項，考查裂項法求和．