Question

（2012•松江區(qū)三模）已知x∈[0，

π

2

]，向量

a

=(

3

2

，cosx)，

b

=(sin2x，-cosx)，f(x)=

a

•

b

+

5

2

，求：當(dāng)x取何值時(shí)f（x）取到最大值和最小值，并求出f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求出f（x），再利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）為sin(2x-

π

6

)+2，根據(jù)x的范圍以及正弦函數(shù)的定義域和值域，求出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：由題意可得 f(x)=

3

2

sin2x-cos2x+

5

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

5

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin(2x-

π

6

)+2．
由0≤x≤

π

2

，得  -

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
由2x-

π

6

=

π

2

得 x=

π

3

，此時(shí)f（x）取到最大值為3．
由2x-

π

6

=-

π

6

 可得 x=0，此時(shí)f（x）取到最小值為-

1

2

+2=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．