Question

【題目】橢圓經(jīng)過為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在圓上.

（1）求的方程；

（2）直線不過曲線的右焦點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且與圓相切，切點(diǎn)在第一象限， 的周長是否為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意，可得： ，從而得到的方程；

（2）依題意可設(shè)直線，由直線與圓相切，且切點(diǎn)的第一象限，可得，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得，利用韋達(dá)定理表示，同時(shí)表示，同理，從而易得周長為定值.

試題解析：

（1）由題意得，

由題意得， 的中點(diǎn)在圓上，

所以，得，

所以橢圓方程為.

（2）依題意可設(shè)直線，

因?yàn)橹本�與圓相切，且切點(diǎn)的第一象限，

所以，且有，

設(shè)，將直線與橢圓方程聯(lián)立

可得， ， ，且

，

因?yàn)?/span>，故，

另一方面

，

化簡得，同理，可得，

由此可得的周長，

故的周長為定值.