Question

（1）已知f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）已知m∈R，解關(guān)于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x．

Answer 1

分析：（1）先分離出含有a，b的式子，即|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求左式的最小值即可．
（2）通過對m討論，然后求解不等式即可．

解答：解：（1）由題知，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，
故|x-1|+|x-2|不大于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值
∵|a+b|+||a-b≥|a+b+a-b|=|a|，
當(dāng)且僅當(dāng)（a+b）（a-b）≥0時取等號，∴

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2．
∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
解不等式得x∈[

1

2

，

5

2

]．
（2）當(dāng)m＜-1時，解集為Φ；
當(dāng)-1≤m＜1時，1-x≤|x-m|≤1+x，可得x≥-1，所以不等式化為：（1-x）²≤（x-m）²≤（1+x）²，解集為[

m+1

2

，+∞)；當(dāng)m≥1時，1-x≤|x-m|≤1+x，可得x≥-1，所以不等式化為：（1-x）²≤（x-m）²≤（1+x）²，解集為[

m-1

2

，+∞)；

點評：本題主要考查了不等式的恒成立問題，通常采用分離參數(shù)的方法解決，考查絕對值不等式的解法，考查計算能力．