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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、c,滿(mǎn)足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R).
          (1)求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A,B;
          (2)求線(xiàn)段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍.
          分析:(1)聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的方程
          y=ax2+bx+c
          y=-bx
          得 ax2+2bx+c=0.所以△=4(a+
          c
          2
          2+3c2.∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0.,
          ∴△>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)
          (2)由題意得|A1B1|2=(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=4[(
          c
          a
          +
          1
          2
          )
          2
          +
          3
          4
          ]
          ∵a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0,∴a>-a-c>c所以
          c
          a
          ∈(-2,-
          1
          2
          ).
          再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得A1B12∈(3,12),故A1B1∈(
          3
          ,2
          3
          解答:解:(1)由
          y=ax2+bx+c
          y=-bx
          消去y,得 ax2+2bx+c=0.
          △=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4(a+
          c
          2
          2+3c2
          ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0.
          3
          4
          c2>0,∴△>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).
          (2)設(shè)方程ax2+2bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=-
          2b
          a
          ,x1x2=
          c
          a

          |A1B1|2=(x1-x22=(x1+x22-4x1x2
          =(-
          2b
          a
          )2-
          4c
          a
          =
          4b2-4ac
          a2
          =
          4(-a-c)2-4ac
          a2

          =4[(
          c
          a
          )2+
          c
          a
          +1]=4[(
          c
          a
          +
          1
          2
          )2+
          3
          4
          ]

          ∵a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0,
          ∴a>-a-c>c,解得
          c
          a
          ∈(-2,-
          1
          2
          ).
          f(
          c
          a
          )=4[(
          c
          a
          )2+
          c
          a
          +1]
          的對(duì)稱(chēng)軸方程是
          c
          a
          =-
          1
          2
          ,且當(dāng)
          c
          a
          ∈(-2,-
          1
          2
          )時(shí),為減函數(shù),
          ∴A1B12∈(3,12),故A1B1∈(
          3
          ,2
          3
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,不等式的性質(zhì)也略有體現(xiàn),在高考中以基礎(chǔ)題型出現(xiàn).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿(mǎn)足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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