Question

如圖，順達(dá)架校擬在長(zhǎng)為400m的道路OP的一側(cè)修建一條訓(xùn)練道路，訓(xùn)練道路的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A＞0，ω＞0），x∈[0，200]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(150，100

3

)，訓(xùn)練道路的后一部分為折線段MNP，為保證訓(xùn)練安全，限定∠MNP=120°．
（I）求曲線段OSM對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式；
（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段訓(xùn)練道路MNP最長(zhǎng)？最長(zhǎng)為多少？

Answer 1

分析：（I）由題意可得，最高點(diǎn)S（150，100

3

），故A=100

3

，由

1

4

•

2π

ω

=150 求得ω，即可得到函數(shù)的解析式．
（II）當(dāng)x=200時(shí)，y=150，故MP=250，設(shè)MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得=250²=（m+n）²-mn．由于 mn≤

(m+n)2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，取等號(hào)，可得0＜m+n≤

500 3

3

，從而求得 m+n的最大值．

解答：解：（I）由題意可得，最高點(diǎn)S（150，100

3

），故A=100

3

，

1

4

•

2π

ω

=150，ω=

π

300

．
故函數(shù)的解析式為 y=100

3

sin

π

300

x （0≤x≤200）．
（II）當(dāng)x=200時(shí)，y=150，故MP=

1502+2002

=250，設(shè)MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得
MP²=250²=MN²+NP²-2MN•NP•cos120°=m²+n²+mn=（m+n）²-mn．
由于 mn≤

(m+n)2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，取等號(hào)，∴250²=（m+n）²-mn≥（m+n）²-

(m+n)2

4

，
故有 0＜m+n≤

500 3

3

，即將折線段中MN與NP的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)為相等時(shí)，折線段訓(xùn)練道路MNP最長(zhǎng)，
且最長(zhǎng)為

500 3

3

 米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，余弦定理，以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．