Question

已知函數(shù)和點(diǎn)P（1，0），過點(diǎn)P作曲線y=f（x）的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N．
（Ⅰ）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N與A（0，1）三點(diǎn)共線．若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間內(nèi)總存在m+1個(gè)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_m，a _m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a _m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵，
∴切線PM的方程為：，
又∵切線PM過點(diǎn)P（1，0），
∴有，即x₁²+2tx₁﹣t=0，（1）
同理，由切線PN也過點(diǎn)P（1，0），得x₂²+2tx₂﹣t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx﹣t=0的兩根，
∴（*）
=，把（*）式代入，得，
因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M、N與A共線時(shí)，k_MA=k_NA，
∴=，即=，
化簡，得（x₂﹣x₁）[t（x₂+x₁）﹣x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，
∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得．
∴存在t，使得點(diǎn)M、N與A三點(diǎn)共線，且．
（Ⅲ）知g（t）在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴（i=1，2,...，m+1），則．依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立，，即對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立．
∵，
∴，
∴．由于m為正整數(shù)，∴m≤6．
又當(dāng)m=6時(shí)，存在a₁=a₂═a_m=2，a _m+1=16，對(duì)所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．