Question

設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，滿(mǎn)足，證明：點(diǎn)總在某定直線(xiàn)上

Answer 1

本題主要考查直線(xiàn)、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

解 (1)由題意：

           ，解得，所求橢圓方程為

(2)方法一

 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。

由題設(shè)知均不為零，記,則且

又A，P，B，Q四點(diǎn)共線(xiàn)，從而

于是           ，     

               ，    

從而

       ，（1）   ，（2）

又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即

                 

  （1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得4x+2y=4.

即點(diǎn)總在定直線(xiàn)上

方法二

設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。

且

又 四點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè),于是

                             （1）

                             （2）

由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得

      （3）

       (4)

(4)－(3) 　　　得  

即點(diǎn)總在定直線(xiàn)上