Question

已知函數(shù)，，．
（1）若在存在極值，求的取值范圍；
（2）若，問是否存在與曲線和都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并求出公切線方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）（2）存在一條公切線，切線方程為：

試題分析：（Ⅰ） 依題有：則在上有變號零點(diǎn)；
令，則
當(dāng)，則；當(dāng)，則
因此，在處取得極小值。            3分
而，，
易知，
①當(dāng)存在兩個(gè)變號零點(diǎn)時(shí)，，可得：
②      當(dāng)存在一個(gè)變號零點(diǎn)時(shí)，，可得：
綜上，當(dāng)在上存在極值時(shí)，的范圍為：       6分
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，，
易知是與的一個(gè)公共點(diǎn)。
若有公共切線，則必為切點(diǎn)，∵，∴
可知在處的切線為
而，∴則
可知在處的切線也為
因此，存在一條公切線，切線方程為：。          12分
點(diǎn)評：函數(shù)在某區(qū)間有極值，則在區(qū)間上有變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)最大值最小值一正一負(fù)，第二問找到兩函數(shù)的公共點(diǎn)是求解的關(guān)鍵，只需求在該點(diǎn)處的兩條切線看其是否相同