Question

若函數(shù)都在區(qū)間上有定義，對任意，都有成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”

（1）若為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”，求的范圍。

（2）判斷是否為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”？

（3）若為區(qū)間上的“伙伴函數(shù)”，求的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）它們是“伙伴函數(shù)”；（3）。

【解析】

試題分析：（1）由已知：

所以，解出：，從而

（2）由已知：，其中

由二次函數(shù)的圖像可知：當(dāng)時(shí)，

所以恒成立，所以它們是“伙伴函數(shù)”

（3）由已知：在時(shí)恒成立。

即：在時(shí)恒成立，分離參數(shù)可得：

在時(shí)恒成立，所以

函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以其最大值為

函數(shù)為雙勾函數(shù)，利用圖像可知其最小值為 所以。

考點(diǎn)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題解法。

點(diǎn)評：難題，本題以新定義函數(shù)的形式，重點(diǎn)考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題解法。對于“恒成立問題”往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。本題利用了“分離參數(shù)法”。