Question

設(shè)a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=9x+

a2

x

+7．若“?x∈[0，+∞]，f（x）＜a+1”是假命題，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：利用“?x∈[0，+∞]，f（x）＜a+1”是假命題，得到“?x∈[0，+∞]，f（x）≥a+1”恒成立，然后解不等式即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時，f（0）=0，
當(dāng)x＞0時，-x＜0，
∴f（-x）=-9x-

a2

x

+7=-f（x），
∴f（x）=9x+

a2

x

-7，x＞0，
∵“?x∈[0，+∞]，f（x）＜a+1”是假命題，
∴“?x∈[0，+∞]，f（x）≥a+1”恒成立，
當(dāng)x=0時，f（0）=0≥a+1，
即a≤-1＜0，
當(dāng)x＞0時，由9x+

a2

x

-7≥a+1，恒成立，
∴9x+

a2

x

≥a+8恒成立，
∵9x+

a2

x

≥2

9x• a2 x

=6|a|，
∴6|a|≥a+8，
即-6a≥a+8，
∴a≤-

8

7

，
故答案為：a≤-

8

7

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，利用基本不等式將不等式轉(zhuǎn)化為最值恒成立是解決本題的關(guān)鍵．