Question

已知雙曲線C：的離心率為，左頂點為（-1，0）。
（1）求雙曲線方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓上，求m的值和線段AB的長。

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）因為雙曲線的離心率為，所以，又左頂點為，所以，因此可解得， ，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）設(shè)，中點的坐標(biāo)為，則
聯(lián)立方程組：消去得關(guān)于的一元二次方程，在判別式大于零的條件下，由韋達(dá)定理可用含參數(shù)的表達(dá)式表示和，進(jìn)而表示和，由于點到原點的距離為，可據(jù)此列方程解得的值；最后根據(jù)弦長公式求弦的長.
試題解析：
（1）依題意所以      ..2分
所以雙曲線方程為      ..4分
（2）由得，     .6分
∴，
又∵中點在直線上，所以可得中點坐標(biāo)為（m,2m）,
代入得     .8分
|AB|=。      12分