Question

（1）A（-2，0）、B（2，0），M滿足=0，求M軌跡．
（2）若（1）中的軌跡按向量（1，-1）平移后恰與x+ky-3=0相切，求k．
（3）如圖，l過(guò)=1 （a＞b＞0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是兩焦點(diǎn)，P∈l，P、A不重合，若∠EPF=α，則有0＜α≤arctan，類比此結(jié)論到=1 （a＞0，b＞0），l是過(guò)焦點(diǎn)F且垂直x軸的直線，A、B是兩頂點(diǎn)，P∈l，P、F不重合，∠APB=α，求α取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)M為（x，y）代入題目中的條件 =0可得x²+y²=4即得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由題意得得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，由其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或 ．
（3）類比橢圓的證明方法得到雙曲線的類似的性質(zhì) ．
解答：解：（1）設(shè) ，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=4．
（2）將x²+y²=4向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后，得到圓（x-1）²+（y+1）²=4，
因?yàn)閳A平移后恰與x+ky-3=0相切，
所以 ，
得k=0或 ．
（3）由題意可得：不妨設(shè)P（c，t）（t＞0），
則
所以
所以0＜tanα≤．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan
所以α取值范圍為：．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練的把向量條件坐標(biāo)化以及類比推理的有關(guān)知識(shí)，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系以及橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．