Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2

3

，離心率為

3

3

，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是右準線上任意一點，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）證明：直線PQ與橢圓E只有一個公共點．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=

a2

c

=3，設(shè)P（3，y₀），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得kQF2•kPF2=-1，利用斜率計算公式可得k_PQ•k_OQ及

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）由（2）知，直線PQ的方程為y-y1=-

2x1

3y1

(x-x1)，即y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

，與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)得到關(guān)于x的一元二次方程，只要證明△=0即可．

解答：解：：（1）由題意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1，b=

2

所以橢圓E：

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=

a2

c

=3，
設(shè)P（3，y₀），Q（x₁，y₁），
因為PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

2

•

y1

x1-1

=

y0y1

2(x1-1)

=-1，
所以-y₁y₀=2（x₁-1）
又因為kPQ•kOQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-3

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -3x1

且

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)代入化簡得kPQ•kOQ=-

2

3

．
即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-

2

3

．
（3）由（2）知，kPQ•kOQ=-

2

3

，kOQ=

y1

x1

，
∴kPQ=-

2x1

3y1

．
∴直線PQ的方程為y-y1=-

2x1

3y1

(x-x1)，即y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

，
聯(lián)立

x2 3 + y2 2 =1 y=- 2x1 3y1 x+ 2 y1

得(3

y

2 1

+2

x

2 1

)x2-12x1x+18-9

y

2 1

=0，
∵3

y

2 1

+2

x

2 1

=6，18-9

y

2 1

=6

x

2 1

．
∴化簡得：x2-2x1x+

x

2 1

=0，又△=0，
解得x=x₁，所以直線PQ與橢圓C相切，只有一個交點．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．