Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E為AC的中點．
（I）若AB=2，AA1=

2

，求點A到平面BEC₁的距離；
（Ⅱ）當

A1A

AB

為何值時，二面角E-BC₁-C的正弦值為

10

5

？

Answer 1

分析：（I）由題意及正三棱錐的特點及點E為AC的中點可以得到BE垂直于平面ACC₁A₁，所以要求點A到平面BEC₁的距離，利用三棱錐的等體積法即可求解；
（II）由于要求

A1A

AB

的值為何時，使得二面角E-BC₁-C的正弦值為

10

5

，不妨假設比值為x，利用二面角的值求解出x的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意畫出圖形為：（即點A到平面的距離為h）

∵三棱錐為正三棱錐，且點E為AC的中點，∴BE⊥平面ACC₁A₁
又∵AB=2，AA₁=

2

，∴BE=

3

，
對于三棱錐A-BEC₁的體積為：

1

3

•

1

2

•BE•EC1•h=

1

3

•

1

4

2

• 2•

3

?h=

6

3

故點A到平面BEC₁的距離為

6

3

．

（II）由題意畫圖如下：

由（I）可以知道平面BEC₁與平面ACC₁A₁垂直且交線為EC₁，
所以在平面ACC₁A₁中過點C作CM⊥EC₁，有三垂線定理可以做出已知的二面角的平面角為∠CNM，
不妨假設AB=1，則A₁A=x，在直角△ECC₁中利用三角形的面積相等可以得到：CM=

1 2 x

1 4 +x2

，
在直角三角形BCC₁中同理可得：CN=

x

1+x2

，
而在直角三角形CMN中sin∠CNM=

CM

CN

= 

1 2 x

1 4 +x2

 ×

1+x2

x

=

10

5

?x=1或x=-1（舍）
所以當

A1A

AB

=1時，使得二面角E-BC₁-C的正弦值為

10

5

；
故答案為：比值1．

點評：此題重點考查了學生的空間想象能力，正三棱錐的特點及利用三棱錐的等體積法求距離，另外還考查了利用三垂線定理作出二面角的平面角及利用假設建立比值的等式，然后求解的方程的思想．