Question

等比數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且滿足a₁a₄=27，a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

（1）證明：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁a₄=27，a₂+a₃=12．
∴a₂a₃=27，a₂+a₃=12
∴a₂、a₃是一元二次方程x²-12x+27=0的兩根
∵數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，
∴a₂=3，a₃=9
∴數(shù)列{a_n}的公比q=3，a₁=3
∴a_n=3^n-1．
（2）解：設(shè){b_n}的公差為d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5
故可設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，
∵a₁=3，a₂=3，a₃=9
∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
∴d=2或-10
∵等差數(shù)列{b_n}的各項為正，∴d＞0，
∴d=2
∴T_n=3n+2=n²+2n
分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合a₁a₄=27，a₂+a₃=12，可得a₂a₃=27，a₂+a₃=12，結(jié)合數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè){b_n}的公差為d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，從而可得數(shù)列的公差，利用求和公式，即可求T_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．