Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】m＝－2時(shí)，f（x）有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.

【解析】

試題分析：方程（2x）2+m2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)2x=t（t＞0），則t2+mt+1=0有且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，考慮應(yīng)用判別式，分判別式大于0和等于0兩種情況

試題解析：∵f（x）＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

即方程（2x）2＋m·2x＋1＝0僅有一個(gè)實(shí)根．

設(shè)2x＝t（t＞0），則t2＋mt＋1＝0.

當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m2－4＝0.

∴m＝－2時(shí)，t＝1；m＝2時(shí)，t＝－1（不合題意，舍去），

∴2x＝1，x＝0符合題意．

當(dāng)Δ＞0時(shí)，即m＞2或m＜－2時(shí)，

t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負(fù)根，

即f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)．

∴這種情況不符合題意．

綜上可知：m＝－2時(shí)，f（x）有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.