Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以O(shè)為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共點(diǎn)，且要求使圓O的面積最小．
（1）寫(xiě)出圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使、、成等比數(shù)列，求的范圍；
（3）已知定點(diǎn)Q（-4，3），直線l與圓O交于M、N兩點(diǎn)，試判斷是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時(shí)直線l的方程，若不存在，給出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可知直線過(guò)定點(diǎn)，要求使圓O的面積最小，則定點(diǎn)在圓上，求出半徑即可求圓的方程．
（2）求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P的坐標(biāo)，、、成等比數(shù)列，得到相等關(guān)系式，P在圓內(nèi)，得到不等式，可求數(shù)量積的范圍．
（3）依題意表示，得到等價(jià)關(guān)系即三角形面積，容易確定圓上的點(diǎn)到已知線段的最大距離．可求出直線l的方程．
解答：解：（1）因?yàn)橹本�l：y=mx+（3-4m）過(guò)定點(diǎn)T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上，
所以圓O的方程為x²+y²=25．
（2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)P（x，y），則x²+y²＜25   ①，，
由成等比數(shù)列得，，
即，整理得：，即②
由①②得：，，∴
（3）
=．
由題意，得直線l與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（-4，3），
直線l_MQ：y=3，|MQ|=8，則當(dāng)N（0，-5）時(shí)S_△MQN有最大值32．
即有最大值為64，
此時(shí)直線l的方程為2x-y-5=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積，等比數(shù)列，直線系等知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．是難度較大的題目．