Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列{a_n²}各項(xiàng)的和為，
(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q；
(Ⅱ)對(duì)給定的k（k=1，2，3，…，n），設(shè)T^（k）是首項(xiàng)為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列。求數(shù)列T^（2）的前10項(xiàng)之和；
(Ⅲ)設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n，并求正整數(shù)m（m＞1），使得存在且不等于零。
（注：無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n→∞時(shí)該無(wú)窮數(shù)列前n項(xiàng)和的極限）

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意可知，；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，
所以數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，
，
即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155；
(Ⅲ)，
，
，
當(dāng)m=2時(shí)，，
當(dāng)m>2時(shí)，=0，
所以m=2。