Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

，下列結(jié)論正確的是

①④

．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；
③?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn)；
④?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．

Answer 1

分析：①直接驗(yàn)證即可，由此得到此函數(shù)是奇函數(shù)；
②可證明此函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上具有單調(diào)性；
③經(jīng)已知0是方程f（x）-kx=0的一個(gè)根；而當(dāng)x＞0，k＞1時(shí)，方程

x

1+x

-kx=0無(wú)解，即函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，同理x＜0時(shí)，亦無(wú)解，故③不正確；
④由②的單調(diào)性即可判斷出．

解答：解：由函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

，可得函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=0，故①正確；
②由①可知：此函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
下面證明當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=

x

1+x

單調(diào)遞增．
?0≤x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=

x

1+x

單調(diào)遞增．
∵此函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴此函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上也單調(diào)遞增．
另外，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→1；當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-1．如圖所示 可知②不正確；
③∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數(shù)g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，若?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)，則方程

x

1+x

-kx=0必有解，
此方程化為kx=1-k，∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無(wú)解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（-∞，0）上有零點(diǎn)，故③不正確；
④由②可知：函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

，在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，因此?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故④正確．
綜上可知：只有①④正確．
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng)：由已知函數(shù)得出其奇偶性和單調(diào)性及畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．