Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，試判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a∈（1，6）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值的表達(dá)式M（a）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f（x）=x-

9

x

，利用f′（x）＞0即可判斷其單調(diào)性；
（Ⅱ）由于1＜a＜6，可將f（x）化為f（x）=

2a-(x+ 9 x )，1≤x≤a x- 9 x ，a＜x≤6

，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)f（x）的最大值的表達(dá)式M（a）．

解答：解：（1）∵a=1，x∈∈[1，6]，
∴f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

，
∴f′（x）=1+

9

x2

＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
（2）因?yàn)?＜a＜6，所以f（x）=

2a-(x+ 9 x )，1≤x≤a x- 9 x ，a＜x≤6

，
①當(dāng)1＜a≤3時(shí)，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，6]上也是增函數(shù)，
所以當(dāng)x=6時(shí)，f（x）取得最大值為

9

2

．
②當(dāng)3＜a＜6時(shí)，f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，在[3，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
當(dāng)3＜a≤

21

4

 時(shí)，2a-6≤

9

2

，當(dāng)x=6時(shí)，f（x）取得最大值為

9

2

．
當(dāng)

21

4

≤a＜6時(shí)，2a-6＞

9

2

，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得最大值為2a-6．
綜上得，M（a）=

9 2 ，1≤a≤ 21 4 2a-6， 21 4 ＜a≤6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，著重考查函數(shù)的最值的求法，突出分類(lèi)討論思想與化歸思想的考查，屬于難題．