Question

（08年北師大附中月考） 用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊形翻轉(zhuǎn)，再焊接而成（如圖），問該容器的高為多少時，容器的容積最大？

 

Answer 1

解析：設(shè)容器高為x cm，容器的容積為V (x )cm³，則

                V (x ) = x (90－2x)(48－2x)

                           = 4x³－276x² + 4320x.（0＜x＜24.

求V (x )的導(dǎo)數(shù)，得：

                 (x) = 12x²－552x + 4320

                          = 12 (x²－46x + 360)

                          = 12 (x－10)(x－36).

令(x) = 0，得x₁ = 10，x₂ = 36（舍去），

當(dāng)0＜x＜10時，(x)＞0，那么V (x )為增函數(shù)；

當(dāng)10＜x＜24時，(x)＜0，那么V (x)為減函數(shù)，

因此，在定義域(0，24)內(nèi)，函數(shù)V (x)只有當(dāng)x = 10時取得最大值，其最大值為

                 V (10) = 10×(90－20)×(48－20) = 19600（cm³），

答：當(dāng)容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積為19600cm³.