Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側(cè)面是等腰直角三角形，，平面平面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，平面平面.

（1）確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，求得，又由，進(jìn)而得到

點(diǎn)是的中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?/span>平面，得，得點(diǎn)是的中點(diǎn)；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面，平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

詳解：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面平面，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面平面，

所以，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，

綜上，分別是的中點(diǎn).

（2）因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

又，所以.

如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

由中點(diǎn)公式得到，

設(shè)平面，平面的法向量分別為，，

由，得：，

令，得，

由，得：，

令，得

所以.

綜上，二面角的余弦值是.