Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）為偶函數(shù)，它的圖象過點A（0，-1），且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若對任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）總成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，求出b和d的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，-1）求出e，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關系，再根據(jù)切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可求得結果；
（2）根據(jù)對任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）總成立，分離參數(shù)可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立，進而轉化為求函數(shù)g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

的最大值即可，利用換元法和基本不等式即可求得結果．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+cx²+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax⁴+cx²+e．
又由圖象過點A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax³+2cx，由題意知函數(shù)y=f（x）在點（1，0）的切線斜率為-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1．
（2）由f（x）≤t（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0，
可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立．
令g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

，設x²+1=m，則m≥1，
∴g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2m2+7m-6

m

=7-2(m+

3

m

)≤7-4

m• 3 m

=7-4

3

（當且僅當m=

3

時，“=”號成立）．
∴g（x）的最大值為7-4

3

，
故實數(shù)t的取值范圍是[7-4

3

，+∞)．

點評：本題注意考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及分離參數(shù)的方法解決函數(shù)恒成立的問題，在解題時注意導數(shù)的幾何意義的應用和基本不等式求最值應注意的問題，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．