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        1. 如圖,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4cm的正方形,直線AD垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,點(diǎn)E是該圓上異于A,B的一點(diǎn),連接AE、BE、DE、CE.
          (1)求證:平面ADE⊥平面BCE;
          (2)若∠BAE=30°,求幾何體CD-ABE的體積.

          解:(1)設(shè)以AB為直徑的圓所在的平面為α,
          ∵AD⊥α,BE?α
          ∴BE⊥AD
          ∵AB是圓的直徑,E點(diǎn)在圓上,
          ∴BE⊥AE
          ∵AD∩AE=A,AD、AE?平面ADE,
          ∴BE⊥平面ADE,
          ∵BE?平面BCE
          ∴平面BCE⊥平面ADE,即平面ADE⊥平面BCE;
          (2)過點(diǎn)E作EF⊥AB于F,
          ∵AD⊥平面ABE,EF?平面ABE,
          ∴EF⊥AD
          又∵EF⊥AB,AB∩AD=A,AB、AD?平面ABCD,
          ∴EF⊥平面ABCD,可得EF是四棱錐E-ABCD的高線,
          ∵Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB=4,
          ∴AE=ABcos30°=2
          ∴Rt△AEF中,EF=AEsin30°=
          因此四棱錐E-ABCD的體積為V=•S正方形ABCD•EF=×42×=
          即:幾何體CD-ABE的體積是
          分析:(1)設(shè)以AB為直徑的圓所在的平面為α,根據(jù)AD與平面α垂直,得到BE⊥AD,再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,得到BE⊥AE.結(jié)合線面垂直的判定定理,得到BE⊥平面ADE,最后利用面面垂直的判定定理,得到平面ADE⊥平面BCE;
          (2)過點(diǎn)E作EF⊥AB于F,結(jié)合已知條件AD⊥平面ABE,得到EF⊥AD,從而EF垂直于平面ABCD內(nèi)兩條相交直線,得到EF⊥平面ABCD,可得EF是四棱錐E-ABCD的高線.然后在Rt△ABE和Rt△AEF中,分別求出AE、EF長(zhǎng),得到四棱錐E-ABCD的高線等于,最后用棱錐的體積公式,求出V=•S正方形ABCD•EF=,即為幾何體CD-ABE的體積.
          點(diǎn)評(píng):本題給出一個(gè)特殊的四棱錐,通過求證面面垂直和求體積,著重考查了空間直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定和性質(zhì),考查了錐體體積公式,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,沿AC將△ABC折起,使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置,且平面PAC⊥平面ACD.
          (I)證明:DC⊥平面APC;
          (II)求棱錐A-PBC的高.

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          (幾何證明選講選做題)如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,直線MN切
          ⊙O于D,∠MDA=45°,則∠DCB=
          135°
          135°

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          如圖:已知四邊形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是線段PB,AD的中點(diǎn)
          (1)求證:FE∥平面PCD;
          (2)求異面直線DE與AB所成的角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,沿AC將△ABC折起,使點(diǎn)B到點(diǎn)P的位置,且平面PAC⊥平面ACD.
          (I)證明:DC⊥平面APC;
          (II)求二面角B-AP-D的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知四邊形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BD=2,AC與BD交于E點(diǎn),F(xiàn)是PD的中點(diǎn).
          (1)求證:PB∥平面AFC;
          (2)求多面體PABCF的體積.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案