Question

【題目】已知函數(shù)函數(shù)f（x）=（ ） ．
（1）求函數(shù)f（x）的值域
（2）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意：函數(shù)f（x）=（ ） 是復合函數(shù)，

令﹣x2﹣4x+2=t，則函數(shù)f（x）=（ ） 轉化為g（t）= ，可知函數(shù)g（t）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．

根據(jù)二次函數(shù)的性質可知：

函數(shù)t：開口向下，對稱軸x=﹣2，

當x=﹣2時，函數(shù)t取得最大值為6．

故得t∈（﹣∞，6]．

那么函數(shù)g（t）= 的最小值為g（6）max= ，即函數(shù)f（x）的最小值為 ．

故得函數(shù)f（x）的值域為[ ，+∞）

（2）解：由（1）可知：函數(shù)t在x∈（﹣∞，﹣2）上是單調遞增，在x∈（﹣2，+∞）上單調遞減．

根據(jù)復合函數(shù)的單調性“同增異減”可得：

∴函數(shù)f（x）=（ ） 的單調遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）

【解析】（1）根據(jù)題意f（x）是復合函數(shù)，將其分解成基本函數(shù)，利用復合函數(shù)的單調性求值域．（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調性“同增異減”可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的值域的相關知識，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數(shù)的單調性的理解，了解注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；函數(shù)的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．