Question

1．    (本小題滿分13分)

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．a，b為實(shí)數(shù)，．

(1)    若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求a、b的值；

(2)    在 (1) 的條件下，求曲線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程；

(3)    設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3）2

【解析】(1) 由已知得，， 由，得，．

∵，，

∴ 當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，， 遞減．

∴ 在區(qū)間上的最大值為，∴．

又，，∴ ．

由題意得，即，得． 故，為所求．

(2) 由 (1) 得，，點(diǎn)在曲線上．

當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．

(3) ．

∴

．  

二次函數(shù)的判別式為

，令，

得：令，得 

∵，，

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．