Question

(本小題滿分16分)已知橢圓中心為，右頂點為，過定點作直線交橢圓于、兩點.

（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；

（2）若，直線的斜率為，求證：；

（3）在軸上，是否存在一點，使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點的坐標和這個常數(shù)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：設直線與橢圓的交點坐標為.

（1）把代入可得：，     （2分）

則，當且僅當時取等號    （4分）

（2）由得，，（6分）

所以

          （9分）

（3）（理）當直線與軸不垂直時，可設直線方程為：，

由消去整理得 

則     ①          又      ②

若存在定點符合題意，且

          （11分）

把①、②式代入上式整理得

(其中都是常數(shù))

要使得上式對變量恒成立，當且僅當

，解得                           （13分）

當時，定點就是橢圓的右頂點，此時，；   

當時，定點就是橢圓的左頂點，此時，；  （15分）

當直線與軸垂直時，由，解得兩交點坐標為

，可驗證：或

所以，存在一點（或），使直線和的斜率的乘積為

非零常數(shù)（或）.                      （16分）

【解析】略