Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，總有f（x）＞0，f（x+y）=f（x）•f（y），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，f（-1）=2，
（1）求證f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，則f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂）可證明
（2）由（1）可知，f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減且f（-1）=2，則f（x）_max=f（-3）=f（-2）f（-1）=f³（-1），f（x）_min=f（3），結(jié)合已知可求

解答：證明：（1）設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0
∵x＜0時(shí)，f（x）＞1
∴f（x₁-x₂）＞1
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上為減函數(shù)
解：（2）由（1）可知，f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減且f（-1）=2，
∴f（x）_max=f（-3）=f（-2）f（-1）=f³（-1）=8
f（x）_min=f（3）
由f（x+y）=f（x）•f（y）且f（x）＞0，f（y）＞0
∴f（0）=f（0）f（0）
∴f（0）=1
∴f（1）f（-1）=f（0）=1
∴f（1）=

1

2

∴f（3）=f（1）f（2）=f（1）f（1）f（1）=

1

8

∴f（x）在[-3，3]上的最大值為8最小值

1

8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，函數(shù)最值的求解，解題的關(guān)鍵是靈活的進(jìn)行配湊