Question

已知函數(shù)f(x)=

2-log2x(x≥2) x2+ax+2 x-2 (x＜2)

在點x=2處連續(xù)，則(x-

1

ax2

)6的展開式中常數(shù)項為

5

3

．

Answer 1

分析：由題意，函數(shù)在點x=2處連續(xù)即，在x=2兩側(cè)的函數(shù)值的極限相等，由此關(guān)系可判斷出關(guān)于a的方程，求a，然后利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為0，求出展開式的通項．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

2-log2x(x≥2) x2+ax+2 x-2 (x＜2)

在點x=2處連續(xù)，函數(shù)值為2-log₂2=1，
∴可得出

x2+ax+2

x-2

=x-1，
即得x²+ax+2=（x-1）（x-2）=x²-3x+2，
解得a=-3
所以(x-

1

ax2

)6=(x+

1

3x2

)6，其展開式的通項為Tr+1=(

1

3

)r

C

r 6

x6-3r
令6-3r=0得到r=2
所以展開式中常數(shù)項為(

1

3

)2

C

2 6

=

5

3

故答案為

5

3

點評：本題考查函數(shù)的連續(xù)性，求解本題關(guān)鍵在于理解連續(xù)性的定義，以及考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．