Question

（15分）點(diǎn)是拋物線上的不同兩點(diǎn)，過(guò)分別作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)。
（1）求證：是與的等差中項(xiàng)；
（2）若直線過(guò)定點(diǎn)，求證：原點(diǎn)是的垂心；
（3）在（2）的條件下，求的重心的軌跡方程。

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析。
（2）證明見(jiàn)解析。
（3）

（1）對(duì)　求導(dǎo)　　得，
所以直線，即
同理, 直線，解得
所以是與的等差中項(xiàng)；                     （5分）
（2）設(shè)直線，代入 整理得．
，得  
   即；
，     ，
，     同理，
所以原點(diǎn)是的垂心；（10分，只需證明兩個(gè)垂直就得滿分）
（3）設(shè)的重心，則
，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130813425258.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以點(diǎn)的軌跡方程為．              （15分）