Question

（本題滿分14分）

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0，），離心率為，經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）易知因?yàn)?sub>

∴橢圓C的方程…………………………3分

（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程且l與y軸交于設(shè)直線l交橢圓于

由得

……………………………………6分

又由

，同理…………………………………………8分

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值-；…………………………10分

（3）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N（，0），

猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N（，0）……………………11分

證明：由（2）知

當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過定點(diǎn)N（，0），

∶

當(dāng)時(shí)，

=

=點(diǎn)N（，0），在直線l_AE上,同理可證，點(diǎn)N（，0）

也在直線l_BD上；∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)（，0）…………14分