Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，使S △IPF 1+S △IPF 2=2S △IF1F 2，則該橢圓的離心率等于

 

．

Answer 1

分析：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式將S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2化簡(jiǎn)整理，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|，結(jié)合橢圓離心率公式，即可得到該橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，則
S_△IPF1=

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|•r，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，
∴

1

2

|PF₁|•r+

1

2

|PF₂|•r=|F₁F₂|•r，
可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|，
∴2a=4c，
∴a=2c，
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的焦點(diǎn)三角形的一個(gè)面積關(guān)系式為載體求橢圓的離心率，考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．