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        1. 已知函數(shù)的圖像過坐標原點,且在點處的切線的斜率是

          1)求實數(shù)的值;

          2)求在區(qū)間上的最大值;

          3)對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點,使得是以為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在軸上?請說明理由.

           

          【答案】

          1;(2上的最大值為;(3)對任意給定的正實數(shù),曲線上總存在兩點,使得是以為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在y軸上.

          【解析】

          試題分析:1)求實數(shù)的值,由函數(shù),由圖像過坐標原點,得,且根據(jù)函數(shù)在點處的切線的斜率是,由導數(shù)幾何意義可得,建立方程組,可確定實數(shù)的值,進而可確定函數(shù)的解析式;2)求在區(qū)間的最大值,因為,由于是分段函數(shù),可分段求最大值,最后確定最大值時,求導得,,令,可得上的最大值為時,.對討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得結(jié)論;3)這是探索性命題,可假設曲線上存在兩點滿足題設要求,則點只能在軸兩側(cè).設的坐標,由此入手能得到對任意給定的正實數(shù),曲線上存在兩點使得是以為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上.

          試題解析:1)當時,1分)

          依題意,得,解得. (3分)

          2)由(1)知,

          ①當4分)

          變化時的變化情況如下表:

          0

          0

          +

          0

          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

          極大值

          單調(diào)遞減

          所以上的最大值為. (6分)

          ②當時,

          時, ,所以的最大值為0 ;

          時,上單調(diào)遞增,所以上的最大值為.(7分)

          綜上所述,

          ,即時,上的最大值為2;

          ,即時,上的最大值為 . (9分)

          3)假設曲線上存在兩點滿足題設要求,則點只能在y軸的兩側(cè).

          不妨設,則,顯然

          因為是以為直角頂點的直角三角形,

          所以,即

          若方程①有解,則存在滿足題意的兩點;若方程①無解,則不存在滿足題意的兩點

          ,則,代入①式得,

          ,而此方程無實數(shù)解,因此. (11分)

          此時,代入①式得,

          ,則,所以上單調(diào)遞增,因為,所以,當時,,所以的取值范圍為。所以對于,方程②總有解,即方程①總有解.

          因此對任意給定的正實數(shù),曲線上總存在兩點,使得是以為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在y軸上. (14分)

          考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

           

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          已知函數(shù)的圖像過坐標原點,且在點 處的切線斜率為.

          1求實數(shù)的值;

          2 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

          (Ⅲ)若函數(shù)的圖像上存在兩點,使得對于任意給定的正實數(shù)都滿足是以為直角頂點的直角三角形,且三角形斜邊中點在軸上,求點的橫坐標的取值范圍.

           

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          (1)求實數(shù)的值;    (2)求在區(qū)間上的最大值;

           

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          (1)求實數(shù),的值

          (2)求在區(qū)間上的值域

           

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          (1)求實數(shù),的值

          (2)求在區(qū)間上的值域

           

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