Question

已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線的斜率是．

（1）求實數(shù)的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在上的最大值為；（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上．

【解析】

試題分析：（1）求實數(shù)的值，由函數(shù)，由圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，得，且根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，建立方程組，可確定實數(shù)的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的解析式；（2）求在區(qū)間的最大值，因為，由于是分段函數(shù)，可分段求最大值，最后確定最大值，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，，令，可得在上的最大值為，當(dāng)時，．對討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論；（3）這是探索性命題，可假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)只能在軸兩側(cè)．設(shè)的坐標(biāo)，由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．

試題解析：（1）當(dāng)時，則 （1分）

依題意，得 即，解得． （3分）

（2）由（1）知，

①當(dāng)時令得或 （4分）

當(dāng)變化時的變化情況如下表：

		0			（）
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又

所以在上的最大值為． （6分）

②當(dāng)時，

當(dāng)時， ，所以的最大值為0 ；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．（7分）

綜上所述，

當(dāng)，即時，在上的最大值為2；

當(dāng)，即時，在上的最大值為 ． （9分）

（3）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)只能在y軸的兩側(cè)．

不妨設(shè)，則，顯然

因為是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

所以，即 ①

若方程①有解，則存在滿足題意的兩點(diǎn)；若方程①無解，則不存在滿足題意的兩點(diǎn)

若，則，代入①式得，

即，而此方程無實數(shù)解，因此． （11分）

此時，代入①式得,即 ②

令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，當(dāng)時，，所以的取值范圍為。所以對于，方程②總有解，即方程①總有解．

因此對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上． （14分）

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．