已知函數(shù)的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線的斜率是
.
(1)求實數(shù)的值;
(2)求在區(qū)間
上的最大值;
(3)對任意給定的正實數(shù),曲線
上是否存在兩點
,使得
是以
為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在
軸上?請說明理由.
(1);(2)
在
上的最大值為
;(3)對任意給定的正實數(shù)
,曲線
上總存在兩點
,使得
是以
為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在y軸上.
【解析】
試題分析:(1)求實數(shù)的值,由函數(shù)
,由圖像過坐標原點
,得
,且根據(jù)函數(shù)在點
處的切線的斜率是
,由導數(shù)幾何意義可得
,建立方程組,可確定實數(shù)
的值,進而可確定函數(shù)的解析式;(2)求
在區(qū)間
的最大值,因為
,由于
是分段函數(shù),可分段求最大值,最后確定最大值,當
時,
,求導得,
,令
,可得
在
上的最大值為
,當
時,
.對
討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得結(jié)論;(3)這是探索性命題,可假設曲線
上存在兩點
滿足題設要求,則點
只能在
軸兩側(cè).設
的坐標,由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)
,曲線
上存在兩點
使得
是以
為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上.
試題解析:(1)當時,
則
(1分)
依題意,得 即
,解得
. (3分)
(2)由(1)知,
①當
時
令
得
或
(4分)
當變化時
的變化情況如下表:
| ( | ||||
— |
|
|
| — | |
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 |
又
所以在
上的最大值為
. (6分)
②當時,
當時,
,所以
的最大值為0 ;
當時,
在
上單調(diào)遞增,所以
在
上的最大值為
.(7分)
綜上所述,
當,即
時,
在
上的最大值為2;
當,即
時,
在
上的最大值為
. (9分)
(3)假設曲線上存在兩點
滿足題設要求,則點
只能在y軸的兩側(cè).
不妨設,則
,顯然
因為是以
為直角頂點的直角三角形,
所以,即
①
若方程①有解,則存在滿足題意的兩點;若方程①無解,則不存在滿足題意的兩點
若,則
,代入①式得
,
即,而此方程無實數(shù)解,因此
. (11分)
此時,代入①式得,
即
②
令,則
,所以
在
上單調(diào)遞增,因為
,所以
,當
時,
,所以
的取值范圍為
。所以對于
,方程②總有解,即方程①總有解.
因此對任意給定的正實數(shù),曲線
上總存在兩點
,使得
是以
為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊的中點在y軸上. (14分)
考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程;利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江西師大附中,臨川一中高三期末聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線斜率為
.
(1)求實數(shù)的值;
(2) 求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖像上存在兩點
,使得對于任意給定的正實數(shù)
都滿足
是以
為直角頂點的直角三角形,且三角形斜邊中點在
軸上,求點
的橫坐標的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年甘肅省高三上學期第一次檢測理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分為12分)
已知函數(shù)的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線
的斜率是.
(1)求實數(shù)的值; (2)求
在區(qū)間
上的最大值;
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆安徽省高二下學期期中質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線的斜率是
.
(1)求實數(shù),
的值
(2)求在區(qū)間
上的值域
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(理科) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像過坐標原點
,且在點
處的切線的斜率是
.
(1)求實數(shù),
的值
(2)求在區(qū)間
上的值域
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