Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（3）求證：

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

33+3+1

32+3

…

n2+n+1

n2+n

＜e．

Answer 1

分析：解：（1）先確定定義域，再用導數(shù)法求單調區(qū)間；要注意a的討論，
（2）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，從而求得其最大值．
（3）對

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

33+3+1

32+3

…

n2+n+1

n2+n

＜e兩邊取對數(shù)，將問題轉化為證明ln

12+1+1

12+1

+ln

22+2+1

22+2

+ln

32+3+1

32+3

++ln

n2+n+1

n2+n

＜1，由（x）=ln（x+1）-x≤0得證．

解答：解：（Ⅰ）定義域為{x|x＞-1}，f′(x)=

1

x+1

-a（1分）
①當a=0時，∵f′(x)=

1

x+1

＞0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，+∞）（2分）
②當a＜0時，
∵f′(x)=

1

x+1

-a＞0
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，+∞）（3分）
③當a＞0時，由f′（x）＞0，則x＜

1

a

-1，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為(-1，

1-a

a

)，
由f′（x）＜0，則x＞

1

a

-1，
所以f（x）的單調遞減區(qū)間為(

1-a

a

，+∞)（4分）
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，
所以（5分）
由表可知f（x）的最大值為f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
兩邊取對數(shù)可知ln

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

32+3+1

32+3

n2+n+1

n2+n

＜1
即證ln

12+1+1

12+1

+ln

22+2+1

22+2

+ln

32+3+1

32+3

++ln

n2+n+1

n2+n

＜1
又ln

k2+k+1

k2+k

=ln(1+

1

k2+k

)由（*）式可知當x≠0時，ln（1+x）＜x（9分）
∴ln(1+

1

k2+k

)＜

1

k2+k

=

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

∴ln(

12+1+1

12+1

)+ln(

22+2+1

22+2

)+ln(

32+3+1

32+3

)++ln

n2+n+1

n2+n

＜

1

12+1

+

1

22+2

+

1

32+3

++

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1（12分）
∴原不等式得證

點評：本題主要考查導數(shù)法求單調區(qū)間，求函數(shù)最值，同時提醒學生在綜合題中已證結論可以用到下一問題去解決問題．